年末ジャンボの考察(1) 〜期待値は本当に「期待」できる？〜

今年も残りわずかということで，今回は年末ジャンボについて考察します．

期待値はなぜ「期待」できるのか

期待値は本当に「期待」できる値なのかどうか考えたことはあるでしょうか．

例えば同じ値段の２種類の宝くじA,Bがあるとします．宝くじAは2分の１の確率で200円当たります．宝くじBは2,000分の１の確率で202,000円当たります．仮に宝くじは人生で１枚しか買わないことに決めていたとしましょう．

宝くじA,Bの期待値はそれぞれ，100円，101円なので，期待値だけ考えれば宝くじBを買う方が有利です．それでは本当に宝くじBを買うべきなのでしょうか．

直感的には１枚しか買わないならば宝くじBはまず当たらないので，宝くじAを買う方が有利な気もします．この疑問に対して．私の友人はこのように回答しました．

「仮に宝くじは人生で１回しか買わないかもしれないけど，人生で同じような選択をする場面は何回もある．それらをひっくるめて考えれば，毎回の選択で期待値の高い方を選択することは理にかなっている．」

見事な回答です．確かに重要なのは宝くじで得られる金額ではなく，人生全体で得られる金額です．視野を人生全体まで広げれば選択回数は十分多くなるので，期待値が高い方を選び続ければ人生全体で見れば得します．これは数学的に大数の法則から言えることです．

期待値無限大のコインゲーム　〜有限という縛り〜

ただ少し待ってください．本当に人生全体での選択回数は「十分に多い」のでしょうか．このことに関して（本質的には少しずれますが）面白いパラドックスが知られています．（サンクトペテルブルクのパラドックスと呼ばれているらしいです．）

ゲーム内容：コインを投げた時，連続で表が出た回数に応じて$2^n$円を賞金とする．（最初に裏が出たら1円．）

このゲームの期待値は

\[
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\cdot 2^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}=\infty
\]
となります．しかし現実世界には制限があります．それはお金の量は有限であるということです．例えば賞金は10億円しか用意できなく，賞金額がそれ以上になった場合はゲームをやめてその時点での金額を支払うことにします．このとき
\[
10\text{億}=10^9=1000^3\simeq (2^{10})^3=2^{30}
\]
ということを利用すると，期待値は
\[
\sum_{n=1}^{30} 2^{-n}\cdot 2^{n-1}+\sum_{n=31}^{\infty} 2^{-n}\cdot 2^{30}=15+1=16
\]
となります．つまり無限大だったはずの期待値がたったの16円になってしまいました．このように有限という制限は強力なのです．


（年末ジャンボの考察(2)に続く）