最近情報幾何の勉強をしており，その過程でリーマン計量がでてきたのですが，定義がやや天下り的だと思ったので自分なりに考察してみました．
ベクトル空間とその双対
体K上のベクトル空間$V$を考えます．（よくわからない場合は$K$を実数として普通の実数ベクトルがなす空間を想像してください．）このとき，関数$V\to K$のうち「良い性質を満たす」関数の集合$V^*$もまたベクトル空間になることが知られています．
この$V^*$を$V$の双対なベクトル空間といいます．
ここで$V$，$V^*$からそれぞれ一つずつベクトル$x$，$x^*$を取ってきましょう．
すると $x^*(x)$はKを返します．
このことから二項演算$\tilde{\cdot}: V\times V^* \to K$を定めることができます．（つまり$x\tilde{\cdot}x^* = x^*(x)$）
この二項演算$\tilde{\cdot}$を内積に変えていきます．
ベクトル空間の圏
得られた二項演算$\tilde{\cdot}$は$V$，$V^*$を引数に取ります．しかし内積は$V$を2つ引数に取ります．
そこで，2つの$V$のうち一つを$V^*$に変換してしまうという戦略を取りましょう．
ここからは圏論の力を借ります．
（ベクトル空間の圏が完備であることに注意）
$V$を$V^*$にする変換は$V\to V^*$とかけます．
$V^*$は$V\to K$のことだったのでこれは$V\to V\to K$と書き直せます．
これに逆カリー化を施すと$V\times V\to K$ となります．
つまり，求めたい変換は$V\times V\to K$となります．
ベクトル空間の圏の直積はテンソル空間のことでした．
なので求めたい変換は$V\otimes V\to K$，つまり$V\otimes V$の双対空間ということになります．
リーマン計量
ここまでくればリーマン計量が一体何者なのかが見ててきます．これまでの議論は任意の体$K$で成立しますが，多様体を考えるときは$K$は実数のみを考えます．
上で得られた変換$T$を用いて，「内積っぽい」二項演算$\cdot : V\times V \to \mathbb{R}$を定めることができます．（つまり$x\cdot y = (T(x))(y)$）
実は$T$のうち$\cdot$が「内積にふさわしい性質」をもつものに限定したものがリーマン計量と呼ばれているものになります．
まとめ
- リーマン計量は双対空間への変換$V\to V^*$とみなせる
- 実態は$V\otimes V$の双対空間
