お金の線形性・指数性

今日はお金そのものについて考察していきます。

そもそもなぜお金が必要なのでしょうか。
その大きな理由の一つは物の流動性を高めるためです。

たとえばりんごをペンと交換したい人がいるとします。
お金というものがなければ、ペンをりんごと交換する人を探さなければいけませんが、そう都合よくそのような人が見つかるわけではありません。
しかし、現代のようなお金の流通している社会では、お金を介することでそのような人を探さなくても売買できます。

また、貯蓄可能だということもお金が必要な理由の一つでしょう。りんごは長時間放置していれば腐って価値がなくなってしまいますが、お金に変えればそのような心配はありません。

このように、お金の良い所は簡単に挙げられます。では逆に悪いところはあるのでしょうか？
今回はこのことを議論する前に、お金の２つの性質「線形性・指数性」について理解しておきましょう。

お金の線形性・指数性

結論から言いますと、お金は、同時刻では額面に対して線形性を、同額面では時間に対して指数性を持ちます。

順番に考えてみましょう。

たとえばお店で500円の物を買った場合を考えます。このときあなたは500円玉を出す必要はもちろんありません。1000円札でも10000円札でも支払うことができます。

もしも500円よりも高い額面の紙幣で支払った場合はお釣りをもらいます。当たり前ですが、このときお釣りとして受け取る金額は単純に支払った金額から商品の価格を引いたものになります。

つまり、差が等しければ価値は等しいのです。これはお金が線形性を持っていることを表しています。

つぎに、2017年から2018年まで利率0.1%で1000万円人にお金を貸すときのことを考えます。お金を借りる人は2018年に、2017年に借りた金額に加え、0.1%の利子をつけ返済しなければなりません。この場合は1000万円で借り1001万円で返すことになります。

よって、2017年の1000万円と2018年の1001万円が同じ価値を持つと考えることができます。利子が借りる量に比例することを考慮すると、お金の価値は時間に対して、線形的ではなく、指数関数的に増えていきます。

価値関数 $f(x,t)$

数学的に議論できるようにするため、価値関数$f(x,t)$を導入します。$x$は額面、$t$は時刻を表します。

たとえば、$f(100\text{円},2017\text{年})$は2017年時点での100円のもつ価値を表します。じつは上で説明した２つの性質から$f(x,t)$は以下のようにもとまります。

$$f(x,t)=ax\,e^{bt}$$

この式がちゃんと２つの性質を満たしているかどうか確認してみましょう。

同時刻のとき、額面の変化による価値の変化は

$$\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}=ae^{bt}=Const.$$

となります。よって価値が額面に比例していることがわかります。

同額面のとき、時刻$t$、$t+\delta t$での価値の比は

$$\frac{f(x,t+\delta t)}{f(x,t)}=e^{b\,\delta t}=Const.$$

となります。よって指数性も満たされています。

まとめ

• お金の価値は、額面に対しては線形的、時間に対しては指数関数的に増える。
• 具体的に$f(x,t)=axe^{bt}$とかける。

次回はこの価値関数をベースに、お金の持つ欠点について考えてみたいと思っています。